ધારો કે લક્ષ L = lim_{n rightarrow infty} sqr | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપણે લક્ષ $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^n} dx$ ની ગણતરી કરીએ. $x = \frac{t}{\sqrt{n}}$ આદેશ લેતા,$dx = \frac

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2} < L < 2$

Vedclass · Answer

(A) આપણે લક્ષ $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^n} dx$ ની ગણતરી કરીએ. $x = \frac{t}{\sqrt{n}}$ આદેશ લેતા,$dx = \frac{dt}{\sqrt{n}}$ મળે. જ્યારે $n \rightarrow \infty$,ત્યારે સંકલન $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} \int_0^{\sqrt{n}} \frac{1}{(1 + t^2/n)^n} \cdot \frac{dt}{\sqrt{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^{\sqrt{n}} (1 + t^2/n)^{-n} dt$ બને છે. ઘાતાંકીય વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim_{n \rightarrow \infty} (1 + t^2/n)^{-n} = e^{-t^2}$. તેથી,$L = \int_0^{\infty} e^{-t^2} dt$. આપણે જાણીએ છીએ કે ગાઉસિયન સંકલન $\int_0^{\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ છે. $\pi \approx 3.14159$ હોવાથી,$\sqrt{\pi} \approx 1.772$. તેથી,$L = \frac{1.772}{2} = 0.886$. $0.5 < 0.886 < 2$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $\frac{1}{2} < L < 2$ છે.

ધારો કે લક્ષ $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^n} dx$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તે $\frac{1}{2}$ કરતા મોટું છે. તો,

Similar Questions

નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{3}{2}} x}{\sin^{\frac{3}{2}} x + \cos^{\frac{3}{2}} x} dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\left|\frac{120}{\pi^3} \int_0^\pi \frac{x^2 \sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx\right|$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{\,\pi }^{\,10\pi } {|\sin x|dx}$ ની કિંમત શું છે?

ધારો કે $I = \int_{\pi / 4}^{\pi / 3} \frac{\sin x}{x} dx$. તો

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module